第五題

(1)【黃柏榤提供】
$\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} {\rm sin}^{2}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} \cdot (\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}})^{2}=\frac{\overline{BC}^{2}}{\overline{AD} \cdot \overline{AB}}=\frac{\overline{BC}^{2}}{\overline{AC}^{2}}={\rm tan}^{2} \frac{\alpha}{2}$ ﹒



(2)【黃歆穎提供】

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} {\rm sin}^{2}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} \cdot (\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}})^{2}=\frac{\overline{AC}^{2}}{\overline{AD} \cdot \overline{AB}}=\frac{\overline{AC}^{2}}{\overline{AC}^{2}}=1$ ﹒

第一題

【袁國軒提供】
作$\overline{CD} \perp \overline{AB}$於$D$﹒設$\overline{AC}=13k$，$\overline{CD}=5k$，$\overline{BD}=2.5k$﹒
則$\overline{AB}=\overline{AD}+\overline{BD}=14.5k=29$，解得$k=2$﹒
$\Delta{ABC}$面積為$\frac{29 \cdot 10}{2}=145$﹒

第二題

【王思源提供】
作$\overline{VA} \perp \overline{QR}$，如圖﹒設$\overline{VA}=a$﹒
因為$\Delta{VAS}$為等腰三角形，所以$\overline{SA}=a$，$\overline{QA}=1-a$﹒
因為$\Delta{QAV}$為${30}^\circ-{60}^\circ-{90}^\circ$三角形﹒
所以$\frac{\overline{VA}}{\overline{QA}}=\frac{a}{1-a}={\rm tan}{60}^\circ$，即$\frac{a}{1-a}=\sqrt{3}$，$a=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$﹒
正方形$STXU$面積為$(\sqrt{2}a)^{2}=2a^{2}=2 \cdot (\frac{3-\sqrt{3}}{2})^{2}=6-3\sqrt{3}$﹒故選$A$﹒