第二題

【劉丞諭提供】
自$P$作$\overline {PD}$ $\perp$ $\overline {AB}$於$D$，自$P$作$\overline {PE}$ $\perp$ $\overline {AQ}$於$E$，如圖﹒
設$\overline{BP}= \overline{PQ} = \overline{CQ}=\sqrt{2}$,$\overline{AE}=x$.
易知$\overline{BP}= \overline{PD} = {1}$,$\overline{AD}={2}$,

所以$\overline{AP}=\sqrt{5}$，同理$\overline{AQ}=\sqrt{5}$.
在$\Delta {ABC}$中，${\overline{PE}}^{2}=(\sqrt{2})^{2}-({\sqrt{5}-x})^{2} =(\sqrt{5})^{2}-{x}^{2}$.
解得$x=\frac{4}{\sqrt{5}}$即$\overline{AE}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，$\overline{PE}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，所以${\rm tan} \angle{PAQ}=\frac{\frac{3}{\sqrt(5)}}{\frac{4}{\sqrt({5}}}=\frac{3}{4}$.