第三題

【盧音孜提供】
作\( \overline{AQ}// \overline{OP} \)，\( \overline{OQ}// \overline{AR} \).\( \overline{AQ}\)與\( \overline{OR}\)交於\({C}\)，如圖﹒則\(\Delta{POQ} \cong \Delta{QAR} \).

設\(\overline{CQ}=1\).因為\(\overline{PQ}=\overline{QR}\)，所以\(\overline{OP}=2\overline{CQ}=2 \)，\( \overline{AC}=1 \).

所以\(\Delta{OCQ} \cong \Delta{RCA} \)，即\(\overline{OQ}=\overline{AR}=\overline{CA}\cdot {\rm tan}{30}^{\circ}=\sqrt{3}\).

\({\rm tan}(\angle{OPQ})=\frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\( {\rm tan}^{2} (\angle{OPQ})=\frac{3}{4}\).