第三題

【盧音孜提供】
作$\overline{AQ}// \overline{OP}$，$\overline{OQ}// \overline{AR}$.$\overline{AQ}$與$\overline{OR}$交於${C}$，如圖﹒則$\Delta{POQ} \cong \Delta{QAR}$.

設$\overline{CQ}=1$.因為$\overline{PQ}=\overline{QR}$，所以$\overline{OP}=2\overline{CQ}=2$，$\overline{AC}=1$.

所以$\Delta{OCQ} \cong \Delta{RCA}$，即$\overline{OQ}=\overline{AR}=\overline{CA}\cdot {\rm tan}{30}^{\circ}=\sqrt{3}$.

${\rm tan}(\angle{OPQ})=\frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以${\rm tan}^{2} (\angle{OPQ})=\frac{3}{4}$.