第三題

【黃歆穎提供】
作外接圓，作外心$D$至三頂點連線，設半徑$r$，如圖﹒
由等弧圓心角為圓周角$2$倍知$\angle{BCD}=2\angle{BAC}$﹒
又$\overline{DE}$為$\overline{BC}$中垂線，所以$\angle{BDE}=\frac{1}{2}\angle{BCD}=\angle{A}$﹒則${\rm cos}A=\frac{m}{r}$﹒
同理${\rm cos}B=\frac{n}{r}$，${\rm cos}C=\frac{n}{r}$﹒
則$m:n:p=\frac{m}{r}:\frac{n}{r}:\frac{p}{r}={\rm cos}A:{\rm cos}B:{\rm cos}C$﹒故選$C$﹒