第三題

【黃歆穎提供】
作外接圓，作外心\(D\)至三頂點連線，設半徑\(r\)，如圖﹒
由等弧圓心角為圓周角\(2\)倍知\(\angle{BCD}=2\angle{BAC}\)﹒
又\(\overline{DE}\)為\(\overline{BC}\)中垂線，所以\(\angle{BDE}=\frac{1}{2}\angle{BCD}=\angle{A}\)﹒則\({\rm cos}A=\frac{m}{r}\)﹒
同理\({\rm cos}B=\frac{n}{r}\)，\({\rm cos}C=\frac{n}{r}\)﹒
則\(m:n:p=\frac{m}{r}:\frac{n}{r}:\frac{p}{r}={\rm cos}A:{\rm cos}B:{\rm cos}C\)﹒故選\(C\)﹒