第三題

【黃歆穎提供】
作外接圓，作外心$D$至三頂點連線，設半徑$r$，如圖﹒
由等弧圓心角為圓周角$2$倍知$\angle{BCD}=2\angle{BAC}$﹒
又$\overline{DE}$為$\overline{BC}$中垂線，所以$\angle{BDE}=\frac{1}{2}\angle{BCD}=\angle{A}$﹒則${\rm cos}A=\frac{m}{r}$﹒
同理${\rm cos}B=\frac{n}{r}$，${\rm cos}C=\frac{n}{r}$﹒
則$m:n:p=\frac{m}{r}:\frac{n}{r}:\frac{p}{r}={\rm cos}A:{\rm cos}B:{\rm cos}C$﹒故選$C$﹒

0131作業

1.已知在$\Delta{ABC}$中，$\angle{A}$，$\angle{B}$是銳角，且${\rm sin}A=\frac{5}{13}$，${\rm tan}B=2$，$\overline{AB}=29$，求$\Delta{ABC}$面積﹒
2.正三角形$PQR$之邊長為$2$﹒點$S$為$\overline{QR}$邊上的中點，點$T$與點$U$分別為$\overline{PR}$與$\overline{PQ}$邊上的點，使得$STXU$為正方形，如右圖所示，則此正方形的面積為
(A)$6-3\sqrt{3}$  (B)$\frac{5-2\sqrt{3}}{5}$  (C)$\frac{3}{4}$  (D)$\frac{2\sqrt{3}}{3}$  (E)$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$



3.銳角三角形$\Delta{ABC}$的三邊長$\overline{BC}=a$、$\overline{CA}=b$、$\overline{AB}=c$，$\Delta{ABC}$的外心到三邊的距離分別是$m$、$n$、$p$，則$m:n:p=$等於
(A)$\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$  (B)$a:b:c$  (C)${\rm cos}A:{\rm cos}B:{\rm cos}C$  (D)${\rm sin}A:{\rm sin}B:{\rm sin}C$



4.$\Delta{ABC}$中，$\overline{AB}=1$，$\angle{ABC}={90}^\circ$，延長$\overline{AC}$至$D$，使得$\overline{CD}=1$，$\angle{CBD}={30}^\circ$，試求$\overline{AC}$﹒

5.平面上一圓$O$，直徑為$\overline{AB}$，$C$為圓$O$上一點，$D$為$\overline{AB}$上一點，且$\overline{CD} \perp \overline{AB}$，若$\angle{COD}=\alpha$，則$\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}{\rm sin}^{2}\frac{\alpha}{2}$=       ﹒

第四題

【徐詠詳提供】

作等腰直角三角形$\Delta{ABC}$，$\overline{AC}=\overline{BC}$，${D}$為$\overline{BC}$，上一點，使得$\angle{BCD}={15}^{\circ}$﹒
設$\overline{AD}={2}$﹒則$\overline{CD}=1$，$\overline{AC}=\sqrt{3}$，$\overline{BC}=\sqrt{3}-1$﹒
作$\overline{DE} \perp \overline{AB}$於${E}$，因為$\Delta{BED}$等腰直角三角形，所以$\overline{DE}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$﹒
故${\rm sin}{15}^\circ =\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$﹒

第三題

【盧音孜提供】
作$\overline{AQ}// \overline{OP}$，$\overline{OQ}// \overline{AR}$.$\overline{AQ}$與$\overline{OR}$交於${C}$，如圖﹒則$\Delta{POQ} \cong \Delta{QAR}$.

設$\overline{CQ}=1$.因為$\overline{PQ}=\overline{QR}$，所以$\overline{OP}=2\overline{CQ}=2$，$\overline{AC}=1$.

所以$\Delta{OCQ} \cong \Delta{RCA}$，即$\overline{OQ}=\overline{AR}=\overline{CA}\cdot {\rm tan}{30}^{\circ}=\sqrt{3}$.

${\rm tan}(\angle{OPQ})=\frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以${\rm tan}^{2} (\angle{OPQ})=\frac{3}{4}$.

第二題

【劉丞諭提供】
自$P$作$\overline {PD}$ $\perp$ $\overline {AB}$於$D$，自$P$作$\overline {PE}$ $\perp$ $\overline {AQ}$於$E$，如圖﹒
設$\overline{BP}= \overline{PQ} = \overline{CQ}=\sqrt{2}$,$\overline{AE}=x$.
易知$\overline{BP}= \overline{PD} = {1}$,$\overline{AD}={2}$,

所以$\overline{AP}=\sqrt{5}$，同理$\overline{AQ}=\sqrt{5}$.
在$\Delta {ABC}$中，${\overline{PE}}^{2}=(\sqrt{2})^{2}-({\sqrt{5}-x})^{2} =(\sqrt{5})^{2}-{x}^{2}$.
解得$x=\frac{4}{\sqrt{5}}$即$\overline{AE}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，$\overline{PE}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，所以${\rm tan} \angle{PAQ}=\frac{\frac{3}{\sqrt(5)}}{\frac{4}{\sqrt({5}}}=\frac{3}{4}$.

0125

1.超過範圍
2.設$\Delta ABC$　為一等腰直角三角形，$\angle BAC=90^{\circ}$.若${P}$，${Q}$為斜邊$\overline {BC}$的三等分點，則${\rm tan} {\angle PAQ}$=           .（化成最簡分數）【93學測】
3.某人在${O}$點測量到遠處有一物作等速直線運動。開始時該物位置在${P}$點，一分鐘後，其位置在${Q}$點，且$\angle POQ=90^{\circ}$.再過一分鐘後，該物位置在${R}$點，且$\angle QOR=30^{\circ}$.請以最簡分數表示${\rm tan}^{2} ({\angle OPQ})$=           .【91指甲】
4.試以二種以上方法求${\rm sin}15^{\circ}$，${\rm cos}15^{\circ}$之值﹒
5.$\Delta ABC$是一個頂角為${36}^{\circ}$的等腰三角形，$\overline {AD}$與$\overline {BE}$分別是$\angle A$與$\angle B$的分角線，如右圖所示。試求${\rm sin}18^{\circ}$之值﹒