第三題

【黃歆穎提供】
作外接圓，作外心\(D\)至三頂點連線，設半徑\(r\)，如圖﹒
由等弧圓心角為圓周角\(2\)倍知\(\angle{BCD}=2\angle{BAC}\)﹒
又\(\overline{DE}\)為\(\overline{BC}\)中垂線，所以\(\angle{BDE}=\frac{1}{2}\angle{BCD}=\angle{A}\)﹒則\({\rm cos}A=\frac{m}{r}\)﹒
同理\({\rm cos}B=\frac{n}{r}\)，\({\rm cos}C=\frac{n}{r}\)﹒
則\(m:n:p=\frac{m}{r}:\frac{n}{r}:\frac{p}{r}={\rm cos}A:{\rm cos}B:{\rm cos}C\)﹒故選\(C\)﹒

0131作業

1.已知在\(\Delta{ABC}\)中，\(\angle{A}\)，\(\angle{B}\)是銳角，且\({\rm sin}A=\frac{5}{13}\)，\({\rm tan}B=2\)，\(\overline{AB}=29\)，求\(\Delta{ABC}\)面積﹒
2.正三角形\(PQR\)之邊長為\(2\)﹒點\(S\)為\(\overline{QR}\)邊上的中點，點\(T\)與點\(U\)分別為\(\overline{PR}\)與\(\overline{PQ}\)邊上的點，使得\(STXU\)為正方形，如右圖所示，則此正方形的面積為
(A)\(6-3\sqrt{3}\)  (B)\(\frac{5-2\sqrt{3}}{5}\)  (C)\(\frac{3}{4}\)  (D)\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)  (E)\(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\)



3.銳角三角形\(\Delta{ABC}\)的三邊長\(\overline{BC}=a\)、\(\overline{CA}=b\)、\(\overline{AB}=c\)，\(\Delta{ABC}\)的外心到三邊的距離分別是\(m\)、\(n\)、\(p\)，則\(m:n:p=\)等於
(A)\(\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}\)  (B)\(a:b:c\)  (C)\({\rm cos}A:{\rm cos}B:{\rm cos}C\)  (D)\({\rm sin}A:{\rm sin}B:{\rm sin}C\)



4.\(\Delta{ABC}\)中，\(\overline{AB}=1\)，\(\angle{ABC}={90}^\circ \)，延長\(\overline{AC}\)至\(D\)，使得\(\overline{CD}=1\)，\(\angle{CBD}={30}^\circ\)，試求\(\overline{AC}\)﹒

5.平面上一圓\(O\)，直徑為\(\overline{AB}\)，\(C\)為圓\(O\)上一點，\(D\)為\(\overline{AB}\)上一點，且\(\overline{CD} \perp \overline{AB}\)，若\(\angle{COD}=\alpha \)，則\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}{\rm sin}^{2}\frac{\alpha}{2}\)=       ﹒

第四題

【徐詠詳提供】

作等腰直角三角形\(\Delta{ABC}\)，\(\overline{AC}=\overline{BC}\)，\({D}\)為\(\overline{BC}\)，上一點，使得\(\angle{BCD}={15}^{\circ} \)﹒
設\(\overline{AD}={2}\)﹒則\(\overline{CD}=1\)，\(\overline{AC}=\sqrt{3}\)，\(\overline{BC}=\sqrt{3}-1 \)﹒
作\(\overline{DE} \perp \overline{AB}\)於\({E}\)，因為\(\Delta{BED}\)等腰直角三角形，所以\(\overline{DE}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\)﹒
故\({\rm sin}{15}^\circ =\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)﹒

第三題

【盧音孜提供】
作\( \overline{AQ}// \overline{OP} \)，\( \overline{OQ}// \overline{AR} \).\( \overline{AQ}\)與\( \overline{OR}\)交於\({C}\)，如圖﹒則\(\Delta{POQ} \cong \Delta{QAR} \).

設\(\overline{CQ}=1\).因為\(\overline{PQ}=\overline{QR}\)，所以\(\overline{OP}=2\overline{CQ}=2 \)，\( \overline{AC}=1 \).

所以\(\Delta{OCQ} \cong \Delta{RCA} \)，即\(\overline{OQ}=\overline{AR}=\overline{CA}\cdot {\rm tan}{30}^{\circ}=\sqrt{3}\).

\({\rm tan}(\angle{OPQ})=\frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\( {\rm tan}^{2} (\angle{OPQ})=\frac{3}{4}\).

第二題

【劉丞諭提供】
自\(P\)作\(\overline {PD}\) \(\perp\) \(\overline {AB}\)於\(D\)，自\(P\)作\(\overline {PE}\) \(\perp\) \(\overline {AQ}\)於\(E\)，如圖﹒
設\( \overline{BP}= \overline{PQ} = \overline{CQ}=\sqrt{2} \),\(\overline{AE}=x\).
易知\( \overline{BP}= \overline{PD} = {1} \),\(\overline{AD}={2}\),

所以\(\overline{AP}=\sqrt{5}\)，同理\(\overline{AQ}=\sqrt{5}\).
在\(\Delta {ABC}\)中，\({\overline{PE}}^{2}=(\sqrt{2})^{2}-({\sqrt{5}-x})^{2} =(\sqrt{5})^{2}-{x}^{2}\).
解得\(x=\frac{4}{\sqrt{5}} \)即\(\overline{AE}=\frac{4}{\sqrt{5}} \)，\(\overline{PE}=\frac{3}{\sqrt{5}} \)，所以\({\rm tan} \angle{PAQ}=\frac{\frac{3}{\sqrt(5)}}{\frac{4}{\sqrt({5}}}=\frac{3}{4}\).

0125

1.超過範圍
2.設\( \Delta ABC \)　為一等腰直角三角形，\( \angle BAC=90^{\circ}\).若\({P}\)，\({Q}\)為斜邊\(\overline {BC}\)的三等分點，則\( {\rm tan} {\angle PAQ}\)=           .（化成最簡分數）【93學測】
3.某人在\({O}\)點測量到遠處有一物作等速直線運動。開始時該物位置在\({P}\)點，一分鐘後，其位置在\({Q}\)點，且\( \angle POQ=90^{\circ}\).再過一分鐘後，該物位置在\({R}\)點，且\( \angle QOR=30^{\circ}\).請以最簡分數表示\( {\rm tan}^{2} ({\angle OPQ})\)=           .【91指甲】
4.試以二種以上方法求\({\rm sin}15^{\circ}\)，\({\rm cos}15^{\circ}\)之值﹒
5.\( \Delta ABC \)是一個頂角為\({36}^{\circ} \)的等腰三角形，\( \overline {AD} \)與\( \overline {BE} \)分別是\( \angle A\)與\( \angle B\)的分角線，如右圖所示。試求\({\rm sin}18^{\circ} \)之值﹒