2018年11月12日 星期一
2018年11月1日 星期四
2018年10月11日 星期四
2018年9月29日 星期六
2018年9月24日 星期一
2018年9月1日 星期六
2018年8月30日 星期四
2018年8月16日 星期四
2018年8月13日 星期一
2018年8月10日 星期五
2018年8月5日 星期日
2018年8月2日 星期四
2018年7月23日 星期一
2018年5月7日 星期一
2018年3月8日 星期四
第4題
【徐詠祥提供】
【解】
作\(\overline{AE}=\overline{DE}\)且\(\angle{DAE}=\angle{ADE}=80^\circ\).
則\(\triangle{EAD}\cong\triangle{ABC}\),所以\(\overline{AE}=\overline{DE}=\overline{AC}\),
則\(\triangle{ACE}\)為正三角形.由\(\angle{AED}=20^\circ\)知\(\angle{DEC}=40^\circ\),
所以\(\angle{EDC}=\angle{ECD}=70^\circ\),故\(\angle{ACD}=70^\circ-60^\circ=10^\circ\).
【解】
作\(\overline{AE}=\overline{DE}\)且\(\angle{DAE}=\angle{ADE}=80^\circ\).
則\(\triangle{EAD}\cong\triangle{ABC}\),所以\(\overline{AE}=\overline{DE}=\overline{AC}\),
則\(\triangle{ACE}\)為正三角形.由\(\angle{AED}=20^\circ\)知\(\angle{DEC}=40^\circ\),
所以\(\angle{EDC}=\angle{ECD}=70^\circ\),故\(\angle{ACD}=70^\circ-60^\circ=10^\circ\).
2018年2月2日 星期五
第五題
(1)【黃柏榤提供】
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} {\rm sin}^{2}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} \cdot (\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}})^{2}=\frac{\overline{BC}^{2}}{\overline{AD} \cdot \overline{AB}}=\frac{\overline{BC}^{2}}{\overline{AC}^{2}}={\rm tan}^{2} \frac{\alpha}{2}\) ﹒
(2)【黃歆穎提供】
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} {\rm sin}^{2}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} \cdot (\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}})^{2}=\frac{\overline{AC}^{2}}{\overline{AD} \cdot \overline{AB}}=\frac{\overline{AC}^{2}}{\overline{AC}^{2}}=1\) ﹒
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} {\rm sin}^{2}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} \cdot (\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}})^{2}=\frac{\overline{BC}^{2}}{\overline{AD} \cdot \overline{AB}}=\frac{\overline{BC}^{2}}{\overline{AC}^{2}}={\rm tan}^{2} \frac{\alpha}{2}\) ﹒
(2)【黃歆穎提供】
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} {\rm sin}^{2}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} \cdot (\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}})^{2}=\frac{\overline{AC}^{2}}{\overline{AD} \cdot \overline{AB}}=\frac{\overline{AC}^{2}}{\overline{AC}^{2}}=1\) ﹒
2018年2月1日 星期四
第二題
【王思源提供】
作\(\overline{VA} \perp \overline{QR}\)，如圖﹒設\(\overline{VA}=a\)﹒
因為\(\Delta{VAS}\)為等腰三角形，所以\(\overline{SA}=a\)，\(\overline{QA}=1-a\)﹒
因為\(\Delta{QAV}\)為\({30}^\circ-{60}^\circ-{90}^\circ\)三角形﹒
所以\(\frac{\overline{VA}}{\overline{QA}}=\frac{a}{1-a}={\rm tan}{60}^\circ\)，即\(\frac{a}{1-a}=\sqrt{3}\)，\(a=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\)﹒
正方形\(STXU\)面積為\((\sqrt{2}a)^{2}=2a^{2}=2 \cdot (\frac{3-\sqrt{3}}{2})^{2}=6-3\sqrt{3}\)﹒故選\(A\)﹒
作\(\overline{VA} \perp \overline{QR}\)，如圖﹒設\(\overline{VA}=a\)﹒
因為\(\Delta{VAS}\)為等腰三角形，所以\(\overline{SA}=a\)，\(\overline{QA}=1-a\)﹒
因為\(\Delta{QAV}\)為\({30}^\circ-{60}^\circ-{90}^\circ\)三角形﹒
所以\(\frac{\overline{VA}}{\overline{QA}}=\frac{a}{1-a}={\rm tan}{60}^\circ\)，即\(\frac{a}{1-a}=\sqrt{3}\)，\(a=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\)﹒
正方形\(STXU\)面積為\((\sqrt{2}a)^{2}=2a^{2}=2 \cdot (\frac{3-\sqrt{3}}{2})^{2}=6-3\sqrt{3}\)﹒故選\(A\)﹒
2018年1月30日 星期二
第三題
【黃歆穎提供】
作外接圓，作外心\(D\)至三頂點連線，設半徑\(r\)，如圖﹒
由等弧圓心角為圓周角\(2\)倍知\(\angle{BCD}=2\angle{BAC}\)﹒
又\(\overline{DE}\)為\(\overline{BC}\)中垂線，所以\(\angle{BDE}=\frac{1}{2}\angle{BCD}=\angle{A}\)﹒則\({\rm cos}A=\frac{m}{r}\)﹒
同理\({\rm cos}B=\frac{n}{r}\)，\({\rm cos}C=\frac{n}{r}\)﹒
則\(m:n:p=\frac{m}{r}:\frac{n}{r}:\frac{p}{r}={\rm cos}A:{\rm cos}B:{\rm cos}C\)﹒故選\(C\)﹒
0131作業
1.已知在\(\Delta{ABC}\)中，\(\angle{A}\)，\(\angle{B}\)是銳角，且\({\rm sin}A=\frac{5}{13}\)，\({\rm tan}B=2\)，\(\overline{AB}=29\)，求\(\Delta{ABC}\)面積﹒
2.正三角形\(PQR\)之邊長為\(2\)﹒點\(S\)為\(\overline{QR}\)邊上的中點，點\(T\)與點\(U\)分別為\(\overline{PR}\)與\(\overline{PQ}\)邊上的點，使得\(STXU\)為正方形，如右圖所示，則此正方形的面積為
(A)\(6-3\sqrt{3}\) (B)\(\frac{5-2\sqrt{3}}{5}\) (C)\(\frac{3}{4}\) (D)\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) (E)\(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\)
3.銳角三角形\(\Delta{ABC}\)的三邊長\(\overline{BC}=a\)、\(\overline{CA}=b\)、\(\overline{AB}=c\)，\(\Delta{ABC}\)的外心到三邊的距離分別是\(m\)、\(n\)、\(p\)，則\(m:n:p=\)等於
(A)\(\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}\) (B)\(a:b:c\) (C)\({\rm cos}A:{\rm cos}B:{\rm cos}C\) (D)\({\rm sin}A:{\rm sin}B:{\rm sin}C\)
4.\(\Delta{ABC}\)中，\(\overline{AB}=1\)，\(\angle{ABC}={90}^\circ \)，延長\(\overline{AC}\)至\(D\)，使得\(\overline{CD}=1\)，\(\angle{CBD}={30}^\circ\)，試求\(\overline{AC}\)﹒
5.平面上一圓\(O\)，直徑為\(\overline{AB}\)，\(C\)為圓\(O\)上一點，\(D\)為\(\overline{AB}\)上一點，且\(\overline{CD} \perp \overline{AB}\)，若\(\angle{COD}=\alpha \)，則\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}{\rm sin}^{2}\frac{\alpha}{2}\)= ﹒
2.正三角形\(PQR\)之邊長為\(2\)﹒點\(S\)為\(\overline{QR}\)邊上的中點，點\(T\)與點\(U\)分別為\(\overline{PR}\)與\(\overline{PQ}\)邊上的點，使得\(STXU\)為正方形，如右圖所示，則此正方形的面積為
(A)\(6-3\sqrt{3}\) (B)\(\frac{5-2\sqrt{3}}{5}\) (C)\(\frac{3}{4}\) (D)\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) (E)\(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\)
3.銳角三角形\(\Delta{ABC}\)的三邊長\(\overline{BC}=a\)、\(\overline{CA}=b\)、\(\overline{AB}=c\)，\(\Delta{ABC}\)的外心到三邊的距離分別是\(m\)、\(n\)、\(p\)，則\(m:n:p=\)等於
(A)\(\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}\) (B)\(a:b:c\) (C)\({\rm cos}A:{\rm cos}B:{\rm cos}C\) (D)\({\rm sin}A:{\rm sin}B:{\rm sin}C\)
4.\(\Delta{ABC}\)中，\(\overline{AB}=1\)，\(\angle{ABC}={90}^\circ \)，延長\(\overline{AC}\)至\(D\)，使得\(\overline{CD}=1\)，\(\angle{CBD}={30}^\circ\)，試求\(\overline{AC}\)﹒
5.平面上一圓\(O\)，直徑為\(\overline{AB}\)，\(C\)為圓\(O\)上一點，\(D\)為\(\overline{AB}\)上一點，且\(\overline{CD} \perp \overline{AB}\)，若\(\angle{COD}=\alpha \)，則\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}{\rm sin}^{2}\frac{\alpha}{2}\)= ﹒
2018年1月29日 星期一
第四題
【徐詠詳提供】
作等腰直角三角形\(\Delta{ABC}\)，\(\overline{AC}=\overline{BC}\)，\({D}\)為\(\overline{BC}\)，上一點，使得\(\angle{BCD}={15}^{\circ} \)﹒
設\(\overline{AD}={2}\)﹒則\(\overline{CD}=1\)，\(\overline{AC}=\sqrt{3}\)，\(\overline{BC}=\sqrt{3}-1 \)﹒
作\(\overline{DE} \perp \overline{AB}\)於\({E}\)，因為\(\Delta{BED}\)等腰直角三角形，所以\(\overline{DE}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\)﹒
故\({\rm sin}{15}^\circ =\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)﹒
作等腰直角三角形\(\Delta{ABC}\)，\(\overline{AC}=\overline{BC}\)，\({D}\)為\(\overline{BC}\)，上一點，使得\(\angle{BCD}={15}^{\circ} \)﹒
設\(\overline{AD}={2}\)﹒則\(\overline{CD}=1\)，\(\overline{AC}=\sqrt{3}\)，\(\overline{BC}=\sqrt{3}-1 \)﹒
作\(\overline{DE} \perp \overline{AB}\)於\({E}\)，因為\(\Delta{BED}\)等腰直角三角形，所以\(\overline{DE}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\)﹒
故\({\rm sin}{15}^\circ =\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)﹒
2018年1月28日 星期日
第三題
【盧音孜提供】
作\( \overline{AQ}// \overline{OP} \)，\( \overline{OQ}// \overline{AR} \).\( \overline{AQ}\)與\( \overline{OR}\)交於\({C}\)，如圖﹒則\(\Delta{POQ} \cong \Delta{QAR} \).
作\( \overline{AQ}// \overline{OP} \)，\( \overline{OQ}// \overline{AR} \).\( \overline{AQ}\)與\( \overline{OR}\)交於\({C}\)，如圖﹒則\(\Delta{POQ} \cong \Delta{QAR} \).
設\(\overline{CQ}=1\).因為\(\overline{PQ}=\overline{QR}\)，所以\(\overline{OP}=2\overline{CQ}=2 \)，\( \overline{AC}=1 \).
第二題
【劉丞諭提供】
自\(P\)作\(\overline {PD}\) \(\perp\) \(\overline {AB}\)於\(D\)，自\(P\)作\(\overline {PE}\) \(\perp\) \(\overline {AQ}\)於\(E\)，如圖﹒
設\( \overline{BP}= \overline{PQ} = \overline{CQ}=\sqrt{2} \),\(\overline{AE}=x\).
易知\( \overline{BP}= \overline{PD} = {1} \),\(\overline{AD}={2}\),
所以\(\overline{AP}=\sqrt{5}\)，同理\(\overline{AQ}=\sqrt{5}\).
在\(\Delta {ABC}\)中，\({\overline{PE}}^{2}=(\sqrt{2})^{2}-({\sqrt{5}-x})^{2} =(\sqrt{5})^{2}-{x}^{2}\).
解得\(x=\frac{4}{\sqrt{5}} \)即\(\overline{AE}=\frac{4}{\sqrt{5}} \)，\(\overline{PE}=\frac{3}{\sqrt{5}} \)，所以\({\rm tan} \angle{PAQ}=\frac{\frac{3}{\sqrt(5)}}{\frac{4}{\sqrt({5}}}=\frac{3}{4}\).
自\(P\)作\(\overline {PD}\) \(\perp\) \(\overline {AB}\)於\(D\)，自\(P\)作\(\overline {PE}\) \(\perp\) \(\overline {AQ}\)於\(E\)，如圖﹒
設\( \overline{BP}= \overline{PQ} = \overline{CQ}=\sqrt{2} \),\(\overline{AE}=x\).
易知\( \overline{BP}= \overline{PD} = {1} \),\(\overline{AD}={2}\),
所以\(\overline{AP}=\sqrt{5}\)，同理\(\overline{AQ}=\sqrt{5}\).
在\(\Delta {ABC}\)中，\({\overline{PE}}^{2}=(\sqrt{2})^{2}-({\sqrt{5}-x})^{2} =(\sqrt{5})^{2}-{x}^{2}\).
解得\(x=\frac{4}{\sqrt{5}} \)即\(\overline{AE}=\frac{4}{\sqrt{5}} \)，\(\overline{PE}=\frac{3}{\sqrt{5}} \)，所以\({\rm tan} \angle{PAQ}=\frac{\frac{3}{\sqrt(5)}}{\frac{4}{\sqrt({5}}}=\frac{3}{4}\).
0125
1.超過範圍
2.設\( \Delta ABC \) 為一等腰直角三角形，\( \angle BAC=90^{\circ}\).若\({P}\)，\({Q}\)為斜邊\(\overline {BC}\)的三等分點，則\( {\rm tan} {\angle PAQ}\)= .（化成最簡分數）【93學測】
3.某人在\({O}\)點測量到遠處有一物作等速直線運動。開始時該物位置在\({P}\)點，一分鐘後，其位置在\({Q}\)點，且\( \angle POQ=90^{\circ}\).再過一分鐘後，該物位置在\({R}\)點，且\( \angle QOR=30^{\circ}\).請以最簡分數表示\( {\rm tan}^{2} ({\angle OPQ})\)= .【91指甲】
4.試以二種以上方法求\({\rm sin}15^{\circ}\)，\({\rm cos}15^{\circ}\)之值﹒
5.\( \Delta ABC \)是一個頂角為\({36}^{\circ} \)的等腰三角形，\( \overline {AD} \)與\( \overline {BE} \)分別是\( \angle A\)與\( \angle B\)的分角線，如右圖所示。試求\({\rm sin}18^{\circ} \)之值﹒
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